Hätte mehr drin sein können?

p_k: Gebotshöhe zu der Spieler k aussteigen sollte (Max. Kosten pro Klick)

i: Anzahl der Mitspieler (inklusive Spieler k)

h: Anzahl an zuvor gezeigten Geboten, zu denen Mitspieler ausgestiegen sind

s_k: Umsatz/Wert pro Klick des Spielers k

α_i: Klickrate des i’ten Mitspielers (in diesem Fall Spieler k)

α_i-1: Klickrate des Spielers der die bessere Anzeigenposition aufweist

b_(i+1): Gebot, das Spieler k zahlen müsste, wenn er erst nächstes mal aussteigen würde.

In Worten steht in der Formel:

Die komplex erscheinende Equilibrium-Formel kann in wenigen Schritten erheblich vereinfacht werden. Im Zentrum der Formel stehen drei Metriken, die jedem bekannt sind und deren Zusammenhänge allgemein verstanden werden: Gewinn, Umsatz, Kosten. Kennt man zwei dieser drei Metriken, ist die dritte stets berechenbar. Zwei Beispiele:
Gewinn ergibt sich, wenn vom Umsatz die Kosten abgezogen werden → Gewinn = Umsatz – Kosten. Die Kosten wiederum ergeben sich, wenn vom Umsatz der Gewinn abgezogen wird → Kosten = Umsatz – Gewinn. Tatsächlich stellt die Equilibrium-Formel nichts anderes dar als die Berechnung der Kosten – mit einem kleinen Kniff, den wir im Folgenden erklären möchten.

Der Kniff

Zur Berechnung der maximalen Kosten pro Klick, die ein Mitspieler bereit sein sollte zu zahlen, wird zunächst davon ausgegangen, dass der Umsatz pro Klick bekannt ist (sₖ bzw. UmsatzProKlick). Das ist im Regelfall auch gegeben. Zudem wird angenommen, dass das Gebot bekannt ist, welches ein Spieler zahlen müsste, wenn er erst eine Runde später aussteigt (b₍ᵢ₊₁₎ bzw. KostenProKlickBesserePosition) und somit die bessere Anzeigenposition erhält. Ein Marketing-Manager wird dies im Regelfall nicht genau wissen – dazu später mehr. Gleiches gilt für die Klickrate der besseren Anzeigenposition (αᵢ₋₁ bzw. KlickrateBesserePosition).

Mit Umsatz und Kosten könnten wir ganz einfach den Gewinn berechnen. Doch nun kommt der erwähnte Kniff: Unser Ziel ist nicht, den Gewinn zu berechnen, sondern die Kosten – genauer gesagt: die maximalen Klickkosten, die man bereit sein sollte zu zahlen, bevor es keinen Unterschied mehr macht, ob man sich um eine Anzeigenposition verbessert. In diesem Fall wäre der Aufstieg einfach zu teuer bezahlt – man kann also auch auf der aktuellen Position bleiben und denselben Gewinn erwirtschaften.

Wir müssen daher aus der Formel „Klickgewinn = Klickumsatz – Klickkosten“, die sich auf die bessere Anzeigenposition bezieht, die Formel „Max. KlickkostenAktuell = Klickumsatz – Klickgewinn“ machen, die sich dann auf die aktuelle, schlechtere Anzeigenposition bezieht.

Folgende Schritte sind dabei notwendig:

• Zuerst müssen wir aus den Klickkosten der nächst besseren Position den Klickgewinn der nächst besseren Position berechnen. Das geschieht im rechten Teil der Formel unter (1) „UmsatzProKlick – KostenProKlickBesserePosition“. Vom Klickumsatz wird der Klickkostenwert der nächst besseren Position abgezogen. Es ergibt sich der Klickgewinn für die nächst höhere Anzeigenposition. Würden wir nun vom Klickumsatz den berechneten Klickgewinn abziehen, hätten wir die Klickkosten – allerdings die Klickkosten für die nächst bessere Position (die wir ja bereits kennen). Wir wollen jedoch die maximalen Klickkosten, die wir bereit wären zu zahlen, für die aktuelle Position. Dafür benötigen wir noch eine Ergänzung in der Formel.
  

• Wir müssen die Klickhäufigkeit, also die Klickrate, bei der aktuellen Anzeigenposition sowie bei der nächst besseren Position berücksichtigen. Damit berechnen wir, um wie viel schlechter die aktuelle Klickrate im Vergleich zur besseren Position ist. Dies geschieht in (1) durch den Faktor: „ KlickrateAktuell / KlickrateBesserePosition “. Warum? Wir erinnern uns: Wir wollen berechnen, ab welchem Punkt es für einen Spieler egal ist, ob er die nächst bessere Anzeigenposition bezahlt oder bei der aktuellen bleibt. Das ist genau dann der Fall, wenn der Gewinn in der aktuellen Position insgesamt genauso hoch ist, wie in der nächst besseren Position. Hierfür haben wir den Klickgewinn der nächst besseren Anzeigenposition berechnet.
  Da die Klickrate in der aktuellen Position jedoch niedriger ist, als in der besseren, fällt auch der Gewinn bei gleichem Klickgewinn in Summe geringer aus. Der Unterschied liegt bei „ReduktionKlickrateaktuellen Position„, dargestellt in (3). Berücksichtigen wir diese Reduktion, dann wird beim Abziehen des Klickgewinns vom Klickumsatz nicht mehr die Klickkosten der besseren Position berechnet, sondern die Klickkosten, die bei aktueller Position zum gleichen Gesamtgewinn führen würden wie bei der besseren Position. Genau das ist der Punkt, an dem es keinen Sinn mehr ergibt, einen höheren Preis zu zahlen: Jeder höhere Klickpreis würde, trotz besserer Position und höherer Klickrate, den Gewinn im Vergleich zur aktuellen Position verringern.
  Ein Beispiel: Wenn die Klickrate aktuell bei 0,7 liegt und bei der besseren Position bei 0,8, dann erhält man statt 100 % des Klickgewinns nur 0,86 also 86 % vom Klickgewinn. Der Klickgewinn wird um die geringere Klickrate reduziert/korrigiert und die Kosten pro Klick steigen. Dies wird unter (3) deutlich.

• Nun muss nur noch vom Umsatz pro Klick der korrigierte Klickgewinn abgezogen werden, und wir erhalten die Höhe der Klickkosten, die bei der aktuellen Position zum gleichen Gewinn führen wie bei der nächst besseren Position.  Das ist der Klickpreis, bei dem es keinen Sinn mehr ergibt, mehr zu bieten, denn selbst bei einer besseren Anzeigenposition würde nicht mehr Gewinn erzielt werden.  Hier eine kurze Rechendemonstration, die das Gesagte illustriert:

Der maximale Klickkosten, zu dem man aktuell aussteigen sollte, liegt also bei 0,54 €. Was wäre nun, wenn man erst zu einem späteren Klickpreis aussteigen würde – sagen wir, bei 0,57 €?  Wie hoch fällt dann unser Gewinn bei der besseren Anzeigenposition aus?  Um die Auswirkung der Erhöhung des Ausstiegsklickpreises auf 0,57 € und deren Einfluss auf den Klickgewinn bei besserer Position zu prüfen, setzen wir 0,57 € statt 0,54 € und statt 0,5 (Klickkosten_{BesserePosition}) „x“ in die Formel ein. Dann lösen wir nach „x“ auf:

Die Klickkosten für die bessere Position haben sich erhöht. Was bedeutet dies nun für den Gewinn bei der besseren Anzeigenposition?

Gewinn_{BesserePosition} = 0,8 – 0,54

Gewinn_{BesserePosition} = 0,26

Der Gewinn_{BesserePosition} hat sich verschlechtert; von 0,30 € auf 0,26 €. Der kurze Exkurs zeigt: Wenn wir zu einem späteren Klickpreis aussteigen, dann reduziert sich der Gewinn sowohl bei der aktuellen Position als auch bei der besseren Position. Es ergäbe also überhaupt keinen Sinn mehr, diesen höheren Klickpreis zu zahlen. Treten wir hingegen früher aus bzw. können zu einem niedrigeren Preis die nächst bessere Position ergattern, erhöhen wir den Gewinn in beiden Fällen.

Nun könnte der ein oder andere sagen: „Wenn ich mit einem niedrigeren Klickpreis mehr Gewinn mache, dann steige ich eben bei einem niedrigeren Klickpreis aus.“ Grundsätzlich hätte er recht. Das Problem ist nur: Eine Prämisse des Equilibriums ist, dass jeder Teilnehmer versucht, sein eigenes Ergebnis zu maximieren. Sprich: Die Gefahr steigt, bei einem zu niedrigen Klickpreis eine Anzeigenposition zu verlieren.  Eine durchaus sinnvolle Annahme – schließlich ist der Wettbewerb im Anzeigengeschäft intensiv.  Allgemein lässt sich also folgern: Man möchte nie mehr pro Klick ausgeben als das Equilibrium – und am besten auch nicht deutlich weniger.

Die SEA-Leistung bewerten 

Wir wissen nun, wie man den optimalen bzw. maximalen Klickpreis berechnen kann. Doch wie lässt sich dieses Wissen nutzen, um die Leistung eines SEA-Kontos zu bewerten?  Der aufmerksame Leser wird festgestellt haben, dass wir im letzten Kapitel zwei schwerwiegende Annahmen getroffen haben: Wir gingen davon aus, den Klickpreis und die Klickrate der nächst besseren Position zu kennen. Das tun wir als Marketing-Manager im Regelfall jedoch nicht.  Wie können wir dieses Problem lösen? Die Antwort lautet: Wir müssen begründete Vorhersagen treffen – und diese probabilistisch, also in Form einer Wahrscheinlichkeitsverteilung, ausdrücken.  Warum probabilistisch? Weil wir zwar keine genauen Werte angeben können, wie hoch der Klickpreis und die Klickrate in der nächst besseren Position sind, aber: Wir können einen Wertebereich angeben, den wir als wahrscheinlich einstufen. Eine solche begründete Vorhersage kann sich z. B. auf die Google-Ads-Metrik zu den oberen Positionen beziehen. Genaue Kennzahlen zu den einzelnen Positionen und darüber, welche Position die eigenen Anzeigen aktuell einnehmen, werden jedoch nicht veröffentlicht. Man muss also etwas kreativer werden, wie wir im folgenden erklären.

Die abgeschnittene Normalverteilung

Für die Konstruktion unseres probabilistischen Bereichs – sowohl für Klickkosten als auch für Klickrate der nächst besseren Position – verwenden wir eine sogenannte trunkierte Gauß’sche Verteilung, oder einfacher gesagt: eine abgeschnittene Normalverteilung. Normalverteilungen sind glockenförmig (die Abbildung zu Beginn dieses Abschnitt „Die optimale Gebotsstrategie“ ist eine Glockenkurve). Daher spricht man oft von einer Glockenkurve. Eine abgeschnittene Normalverteilung weist keine Werte unterhalb eines definierten Minimums oder oberhalb eines festgelegten Maximums auf – die Kurve ist an beiden Enden abgeschnitten.  Eine solche Verteilung wird definiert durch einen Mittelwert, eine Standardabweichung, ein Minimum und ein Maximum  Der Mittelwert kennzeichnet den Bereich, den wir als besonders wahrscheinlich einschätzen – dort ist die Kurve am höchsten. Die Standardabweichung bestimmt, ob die Glocke eher spitz oder flach ist – sie beschreibt also die Streuung der Daten. Zu den Rändern hin nimmt die Kurve ab – hier gehen wir von geringerer Wahrscheinlichkeit aus.  Für unsere Zwecke werden 1.000 Werte simuliert, basierend auf dieser Verteilung.

Definition unserer Verteilungen

Der Mittelwert unserer abgeschnittenen Normalverteilung liegt in der Mitte zwischen der Klickrate bzw. dem Klickpreis der aktuellen Position und den oberen Positionen (Google Ads Metrik). Beispiel: Liegt die Klickrate aktuell bei 0,7 und in den oberen Positionen bei 0,9, dann setzen wir den Mittelwert auf 0,8.  Warum nicht die vollen 0,9? Weil wir nicht sicher wissen, ob die nächst bessere Anzeige direkt unterhalb oder innerhalb der oberen Positionen erscheint – beides ist meist nicht der Fall. Deshalb nehmen wir die Mitte beider Werte – eine vorsichtige Annahme, die natürlich auch anders begründet werden könnte.  Die Standardabweichung übernehmen wir aus unseren Daten zu den oberen Positionen – sie gibt eine realistische Einschätzung über die Streuung im probabilistischen Bereich. Das Minimum der Verteilung ist: Klickrate bzw. Klickkosten der aktuellen Position plus 1 %. Hier können wir relativ sicher sein, dass Klickrate bzw. Klickkosten in der besseren Position mindestens besser sind. Das Maximum ist der jeweils höchste Wert für Klickrate bzw. Klickkosten der oberen Positionen in den Daten. Einen höheren Wert könne wir als überaus unwahrscheinlich einschätzen.

Tägliche Simulation und Berechnung

Wir erstellen für jeden Tag, zu dem uns die Daten zur den Klickraten bzw. Klickkosten vorliegen, eine abgeschnittene Normalverteilung. Das bedeutet: Für jeden Messwert wird die Formel zur Berechnung des maximalen Klickpreises 1.000-mal durchgeführt. Aber: Die Berechnungen des maximalen Klickpreises allein bringen uns noch nicht viel, wenn wir die Leistung bewerten wollen. Dazu benötigen wir den Vergleich zwischen dem tatsächlich bezahlten Klickpreis und dem maximal möglichen Klickpreis. Wie? Indem wir vom berechneten maximalen Klickpreis den tatsächlich bezahlten Preis abziehen. Das Ergebnis nennen wir Anzeigenperformance.  Auch für die Anzeigenperformance liegen uns dann 1.000 Werte pro Tag vor. Man kann sich das so vorstellen: Für jeden Tag existiert eine Verteilung, die einer Normalverteilung ähnelt.  Diese erlaubt es uns die wahrscheinlichste Anzeigenperformance für jeden Tag zu berechnen und einen Bereich zu definieren, in dem mit 89 prozentiger Wahrscheinlichkeit die Anzeigenperformance tatsächlich lag. Warum kein einzelner Wert?  Hätten wir nur einen einzelnen Wert berechnet, würden wir implizit annehmen, dass wir die tatsächliche Klickrate und den tatsächlichen Klickpreis der nächst besseren Position genau kennen. Das ist nicht der Fall. Wir können lediglich einen Bereich angeben, den wir als wahrscheinlich einschätzen. Das Ergebnis ist also ebenfalls kein exakter Wert, sondern ein Wahrscheinlichkeitsbereich, in dem sich die Anzeigenperformancewahrscheinlich bewegt hat. Allgemein ist zu sagen, dass man fast nie den genauen Wert kennt. Das gilt auch für die wissenschaftliche Forschung. Im absoluten Regelfall, spätestens wenn eine Stichprobe genutzt wurde, wird man nicht sagen können, dass ein spezifischer Wert der richtige ist.

Anwendung und Beispiele

Das gesamte beschriebene Verfahren haben wir mit Daten von drei Kunden durchgeführt. Die Anzeigenperformance über den Beobachtungszeitraum (nach Jahr und Monat) zeigen wir unten als Diagramme. Jedes Diagramm zeigt:

• eine blaue Linie → den Mittelwert der Verteilung zur Anzeigenperformance
• einen blau hinterlegten Bereich → das 89%-Wahrscheinlichkeitsintervall zur Anzeigenperformance
• rote Linie → CTRAktuell

Das Wahrscheinlichkeitsintervall zur Anzeigenperformance ist aussagekräftiger als der Mittelwert, aufgrund der genannten Unsicherheit. Wichtig ist, dass dieser Bereich nicht die gepunktete 0-Linie überschreitet. Denn: Wenn das Intervall unter 0 fällt, steigt die Wahrscheinlichkeit, dass man mehr gezahlt hat als optimal – also zu viel. Bewegt sich der Bereich allerdings zu weit über 0, steigt die Wahrscheinlichkeit, dass man eine Anzeigenposition verliert, weil man zu wenig geboten hat. Die CTRAktuell haben wir in den Diagrammen zusätzlich ergänzt.

Im Diagramm zum Kunde 1 unterschreitet der blaue Bereich die 0-Linie. Zudem erreicht derselbe Graph im späten Frühjahr 2024 sehr hohe Werte. Dies weist darauf hin, dass die Wahrscheinlichkeit gestiegen ist, dass die Anzeigen ihre Position nach unten verloren haben. Die Vermutung zum Verlust der Position wird durch die abfallende CTRAktuell (rote Linie) gestützt.

Das Diagramm zum Kunde 2 zeigt eine insgesamt bessere Performance. Nie unterschreitet der blaue Bereich die 0-Linie. Auch hier fällt auf, dass eine abfallende CTRAktuell mit einem Anstieg der blauen Linie einhergeht. Auch hier könnte die eigene Anzeigenposition verloren worden sein.

Ein weniger eindeutiges Bild zeigt sich bei Kunde 3. Zwar unterschreitet der blaue Bereich nicht die 0-Linie, jedoch ist der Zusammenhang zur CTRAktuell weniger klar. Eine genauere Analyse ergab, dass der deutliche Anstieg der blauen Linie im August 2024 mit einem deutlich gesunkenen Gebot im Vergleich zum Gebot der oberen Positionen, sprich zu niedrigen Klickkosten, im Zusammenhang steht. Wir hatten letztlich Glück, dass das zu niedrige Gebot nicht zu einem Positionsverlust geführt hat und in Folge zu Verlusten in der CTRAktuell .

Insgesamt zeigen die Diagramme jedoch: Starke Veränderungen sind selten – die Graphen bleiben vergleichsweise konstant nahe der 0-Linie. Das bedeutet: Man hat meistens nicht zu viel für die aktuelle Position gezahlt und hat sie nur selten verloren. Mehr wäre jedoch tatsächlich drin gewesen.